第二章数据的表示和运算（BOK）

一、数据的表示

1.1 进制转换

1）十进制与二进制

2）十进制与二进制

3）二进制与十六进制

1.2 定点数与浮点数

1）定点数

2）浮点数

小数点右移3位，乘以10的-3

核心区别：定点数的小数点位置固定，浮点数的小数点位置浮动
类比说明：浮点数的”浮”体现在小数点可移动的特性，类似科学计数法的表示方式

1.3 定点数的编码表示

1）机器数和真值

2）机器数的表示方式 – 原码

0有占用两种编码

1. 真值（True Value）
定义：数本身的 “实际值”，即日常生活中使用的带正负号的数值。
例子：温度为 +25℃，其中 “+25” 就是真值。
欠款 -100 元，其中 “-100” 就是真值。
2. 原码（Sign-Magnitude）
定义：计算机中表示带符号数的一种编码方式，规则为：最高位（符号位）：0 表示正数，1 表示负数；
其余位：数值的绝对值的二进制表示。
例子（以 4 位二进制为例）：真值 +5 → 原码 0101（符号位 0，数值部分 101=5）。
真值 -5 → 原码 1101（符号位 1，数值部分 101=5）。
3. 机器数（Machine Number）
定义：计算机内部存储、运算时使用的二进制编码。原码、反码、补码都是机器数的不同形式。
例子：原码：+5 → 0101，-5 → 1101。
补码（另一种机器数）：+5 → 0101，-5 → 1011（补码的计算涉及反码 + 1）。
三者关系总结
真值是现实中的数值（如 + 5、-5）。
原码是机器数的一种，直接用符号位 + 绝对值表示真值。
机器数是计算机实际存储的编码，可能采用原码、补码等形式（补码更常用，因为便于加减运算）。

简单理解：真值是 “人话”，原码是 “机器的一种翻译方式”，机器数是 “机器内部的表示统称”。

3）机器数的表示方式 – 反码

4）机器数的表示方式 – 补码

5）补码转真值（简便方法）

简便方法

6）补码表示范围

7）原码、补码范围区别

补码与原码表示范围的对比
- 关键差异：
  - 补码比原码多表示一个负数（如8位补码可表示-128，原码只能到-127）
  - 原因：补码将原码的”-0″编码重新解释为最小负数
- 表示效率：
  - 补码：2ⁿ个编码表示2ⁿ个不同数值
  - 原码：2ⁿ个编码只能表示2ⁿ−1个不同数值（因零占两个编码）

1.4 补码可以实现加减运算的统一

1.5 无符号数

1.6 移码

移码的核心作用是方便比较带符号数的大小，尤其适合表示浮点数的 “阶码”（指数部分）。

简单理解：

移码的本质是给所有数加一个 “偏移量”，把原本有正有负的数 “整体上移”，变成非负数。这样一来，移码的二进制大小顺序和真值的大小顺序完全一致—— 直接比较移码的二进制，就能知道原来的数谁大谁小，不需要额外处理符号位，极大简化了计算机的比较逻辑。

举例（以 4 位二进制为例，偏移量取 8，即 2³）：

移码的计算规则：移码 = 真值 + 偏移量（这里是 8）

真值	移码（真值 + 8）	二进制移码
-4	-4 + 8 = 4	0100
0	0 + 8 = 8	1000
3	3 + 8 = 11	1011
5	5 + 8 = 13	1101

观察规律：

真值越大，移码的二进制数值也越大（1101＞1011＞1000＞0100，对应 5＞3＞0＞-4）。
计算机只需像比较无符号数一样比较移码的二进制，就能直接判断真值的大小，不需要考虑符号位的干扰。

实际用途：

浮点数由 “阶码”（指数）和 “尾数”（有效数字）组成，阶码的大小决定了浮点数的整体大小。移码因为能直接比较大小，被广泛用于表示浮点数的阶码，让计算机快速判断两个浮点数的大小关系（比如比较 1.2×10³ 和 3.4×10²，只需比较阶码 3 和 2 的移码大小）。

1.7 练习

1.8 数据的宽度和存储

1.9 大小端存储

大端存储

小端存储

二、运算部件

2.1 加法器

2.1.1 全加器

2.1.2 串行进行加法器

最高位的进位直接丢弃（不是溢出）

缺陷

2.1.3 并行进行加法器

串行进位加法器进位推导

并位加法器

2.1.4 带标志加法器（大题重点）

OF 仅对带符号数有效，题目如果问，按表达式推

SF

ZF

CF – 仅对无符号数有效

2.2 算数逻辑单元ALU

ALUop = 1 加法； ALUop = 0 减法

三、符号扩展与零扩展

3.1 符号扩展的原则

3.2 符号扩展的应用

补码转真值

溢出判断

没有发生溢出

发生溢出

3.3 零扩展

四、定点数的运算（不是考察重点）

4.1 定点数的移位操作

4.1.1 左移

4.1.2 右移

算数右移针对补码，逻辑右移用于无符号数

4.2 补码的加减运算

4.2.1 补码加减运算法则

4.2.2 补码加减运算电路

[y]补 -> [-y]补

1、全部按位取反

2、末位 + 1

核心组件：
- 带标志加法器：执行实际加法运算
- 多路选择器(MUX)：选择输入y或y取反
- 控制信号Sub：决定执行加法(0)或减法(1)
减法实现原理：
- Sub=1时：MUX输出y取反，同时Cin=1
- 等效操作：y取反加1得到−y补码
加法实现原理：
- Sub=0时：MUX直接输出y，Cin=0
- 等效操作：直接计算x+y
标志位应用：
- OF：有符号数溢出标志
- CF：无符号数进位标志

该图需要记忆

4.2.3 溢出判别

4.3 乘法原理和电路

4.3.1 原码乘法

4.3.2 补码乘法

4.4 除法原理与电路

五、浮点数与IEEE754

5.1 浮点数

5.1.1 浮点数的表示格式

【注】：基数一般是考察2这种情况

5.1.2 浮点数的规格化

正数

负数

规格化
- 基数r=2时：
  - 形式：±0.1bb…b×2^E（b为0或1）
  - 关键特征：小数点后第一位必须为1（二进制有效位）
- 基数r=2^n时：
  - 要求：尾数最高n位不全为0
  - 本质：尾数绝对值必须大于r分之一（如r=4时需>0.25）
- 原码特性：
  - 尾数用原码表示时，真值范围在(-1,1)之间
  - 因此规格化形式中整数部分只能是0（正数）或符号位（负数）