第二章 03浮点数的表示与运算

一、浮点数的表示

1.1 定点数的局限性

• 表示范围限制：定点数在字节数固定的情况下表示范围有限，如2字节short型只能表示-8540¥的个人负债，而4字节int型无法表示3000多亿的巨额财富。
• 扩展性问题：若将人民币换算为津巴布韦币，8字节long型也无法表示，说明单纯增加字节数不是解决方案。

1.2 从科学计数法理解浮点数

科学计数法

组成结构：

• 阶码：包含阶符（正负）和数值部分，决定小数点移动方向和位数。如：+3.026×10¹¹中”+11″为阶码。

• 尾数：包含数符（整体正负）和数值部分，决定数字精度。尾数位数越多（如从3.026扩展到3.02657），精度越高。

1.3 浮点数的表示

• 阶码：常用补码或移码表示的定点整数
• 尾数：常用原码或补码表示的定点小数

阶码

• 功能特性：
  • 采用补码/移码表示的定点整数，底数通常为2（也可取4/8等2ⁱ值）。
  • 反映数值范围：阶码位数限制决定最大/最小可表示值（类比十进制阶码两位数限制0-99）。
  • 决定小数点位置：如阶码为1时，尾数需算术左移1位。
• 阶码底数取4时，阶码1对应小数点移动2位（类似十进制底数取100时阶码1移动2位）。

尾数

• 存储形式：原码/补码表示的定点小数，符号位决定整体正负。

• 精度决定：尾数数值部分位数n直接决定精度，n越大精度越高。如尾数”3.026″比”3.0″精度更高。

• 规格化要求：通常要求尾数绝对值在[0.5,1)范围内，通过调整阶码实现（类似科学计数法要求首位非零）

1.4 浮点数的表示案例

• 关键点
  • 补码与原码的转换规则
  • 阶码对小数点位置的影响
  • 存储空间不足时的精度取舍问题

1.5 浮点数尾数的规格化

规格化浮点数

基本组成：浮点数由阶码和尾数组成，阶码常用补码或移码表示，尾数常用原码或补码表示

真值公式：N=r^E×M，其中r为阶码的底（通常为2），E为阶码，M为尾数

规格化目的：通过保证尾数最高数值位为有效值，最大限度保留精度

十进制类比：类似科学计数法要求数值部分最高位非零（如3.026×10^11有效，0.003×10^14无效）

1.6 左规

• 触发条件：尾数最高数值位无效（如二进制尾数为0.01001，首位0无效）
• 处理方法：
  • 尾数算术左移1位（小数点右移）
  • 阶码减1补偿
• 示例：b=0,10;0.01001 左规后变为0,01;0.10010，真值保持
• 特点：通过抛弃无效高位，在固定存储空间内增加有效位数

1.7 右规

• 触发条件：运算导致尾数”假溢出”（双符号位为01或10）
• 处理方法：
  • 尾数算术右移1位
  • 阶码加1补偿
• 双符号位优势：高位符号位指示真实符号，可通过右规挽救溢出

1.8 浮点数尾数的规格化案例

• 右规
  • 对齐阶码后进行尾数相加
  • 检测到双符号位01表示正溢出
  • 执行右规操作：尾数右移1位补符号位，阶码+1
  • 最终存储格式：|0|1|1|0|1|0|1|0|

1.9 规格化浮点数的特点

原码表示的尾数规格化

1、什么是规格化？

规格化就是将浮点数调整为标准格式，确保尾数的最高位是有效数字。

原码表示的尾数规格化是浮点数表示中的一个重要概念，目的是统一数的表示形式并提高精度。

2、原码尾数规格化的规则

对于原码表示：

• 正数：尾数的最高位必须是 1
• 负数：尾数的最高位必须是 1（因为原码中负数只是符号位为1，数值部分仍按正数处理）

3、规格化过程

步骤：

1. 将尾数左移或右移
2. 相应地调整阶码
3. 直到尾数最高位为1

4、举例说明

例1：正数规格化

原始：0.001101 × 2³
规格化：1.101 × 2⁰

• 尾数左移3位（去掉前导0）
• 阶码相应减3

例2：负数规格化（原码）

原始：-0.001011 × 2⁴
原码尾数：1.001011（符号位1，数值部分0.001011）
规格化后：1.1011 × 2¹

5、规格化的意义

1. 唯一性：每个非零数只有一种规格化表示
2. 精度最大化：充分利用尾数的每一位
3. 便于运算：统一的格式便于硬件实现

补码表示的尾数规格化

1、规格化条件

补码尾数规格化要求：

• 符号位与最高数值位必须不同
• 这样可以避免冗余表示，提高精度利用率

2、规格化格式

正数格式： 0.1 × x...x

• 符号位：0（正数）
• 最高位：1（与符号位不同）
• 后续位：任意组合

负数格式： 1.0 × x...x

• 符号位：1（负数）
• 最高位：0（与符号位不同）
• 后续位：任意组合，但整体符合补码规则

3、表示范围分析

正数范围： 1/2 ≤ M ≤ (1 - 2^(-n))

• 最小值：0.100…0 = 1/2
• 最大值：0.111…1 = 1 – 2^(-n)

负数范围： -1 ≤ M ≤ -(1/2 + 2^(-n))

• 最大值（最接近0）：1.011…1 = -(1/2 + 2^(-n))
• 最小值：1.000…0 = -1

4、移位规则

算术左移： 低位补0

• 用于规格化时将有效位左移
• 保持符号位不变

算术右移： 高位补1

• 用于非规格化调整
• 保持数值的符号特性

5、规格化过程示例

正数规格化：

原始：0.001101 × 2³
规格化：0.1101 × 2⁰

负数规格化：

原始：1.110011 × 2²（已规格化，符号位1，最高位1，需调整）
应为：1.011001 × 2¹（符号位1，最高位0）

6、关键优势

1. 对称性：正负数范围相对对称
2. 精度最大化：避免了前导位的浪费
3. 运算便利：补码运算规则统一
4. 硬件友好：移位操作简单高效

7、与原码的对比

1.10 规格化浮点数计算案例

• 题目解析
  • 初始值：0.110;1.1110100（阶码4位，尾数8位）
  • 尾数为负数补码，需满足符号位与最高数值位相反
  • 执行算术左移3次：尾数变为1.0101000
  • 阶码补偿：+6→+3（011）
  • 最终规格化结果：011;1.0101000

1.11 知识点回顾

• 表示原理：通过r^E×M现动态小数点位，阶码决定范围，尾数决定精度
• 规格化本质：保证尾数最高数值位有效（原码为1，补码与符号位相反）
• 异常类型：
  • 上溢：超出最大表示范围（正/负上溢）
  • 下溢：小于最小正数/最大负数（正/负下溢）
• 移位规则：
  • 左规：尾数左移，阶码减
  • 右规：尾数右移，阶码加

二、浮点数标准 IEEE 754

2.1 移码

移码的基本概念与计算方法

移码是在补码的基础上将符号位取反得到的编码方式，只能用于表示整数。

2.2 标准偏置值

移动 = 真值 + 偏置值

移码（偏移二进制码）的核心思想是将负数区间整体”移动”到正数区间来表示。

基本原理：

• 真码：直接的二进制表示，有正负之分
• 偏置值：一个固定的正数，通常是 2^(n-1)，其中n是位数
• 移码 = 真码 + 偏置值

举个简单例子（4位）：

• 偏置值 = 2³ = 8
• 真码 -5 → 移码：-5 + 8 = 3 → 二进制 0011
• 真码 +3 → 移码：+3 + 8 = 11 → 二进制 1011

为什么这样做？

1. 统一处理：把所有数（包括负数）都变成正数来存储
2. 简化比较：移码可以直接按无符号数比较大小
3. 应用场景：主要用在浮点数的指数部分

简单说就是给所有数都加上一个固定值，让原本的负数变成正数来表示，这样处理起来更方便。

2.3 IEEE 754 特殊偏置值

偏置值的作用：

• 将有符号的指数转换为无符号存储格式
• 使得指数的比较可以直接通过二进制比较进行

具体数值：

• 单精度（32位）：偏置值为127
• 双精度（64位）：偏置值为1023

计算方法： 偏置值 = 2^(k-1) – 1，其中k是指数位数

• 单精度：2^(8-1) – 1 = 127
• 双精度：2^(11-1) – 1 = 1023

使用方式：

• 存储时：实际指数 + 偏置值 = 存储的指数
• 读取时：存储的指数 – 偏置值 = 实际指数

举例： 如果实际指数是-3，在单精度中存储为：-3 + 127 = 124

这种设计使得浮点数的指数部分总是正数，简化了硬件实现和比较操作。

阶码全1、全0用作特殊用途

全1：1111 1111B – 无符号255

全0：0000 0000B – 无符号1

2.4 IEEE 754标准2.4 IEEE 754标准

通用结构

数符（1位）：表示正负

阶码（移码表示）：偏置值专属 IEEE 754的标准

尾数（原码表示）：隐含最高位1

具体类型

短浮点数（float）：

• 总位数：32位（1+8+23）

• 偏置值：127D（7FH）

• 尾数处理：实际24位（1.xxx）

长浮点数（double）：

• 总位数：64位（1+11+52）

• 偏置值：1023D（3FFH）

临时浮点数（long double）：

• 总位数：80位（1+15+64）

• 偏置值：16383D（3FFFH）

2.5 例题：十进制转浮点数

• 转换步骤
  • 规格化处理：将二进制数转换为1.xxx形式，如-0.75（-0.11₂）规格化为-1.1×2⁻¹
  • 数符确定：负数取1，正数取0
  • 尾数处理：隐含最高位1，实际存储小数点后部分（1.1→存储100…0）
  • 阶码计算：真值（-1）+偏移量（127）=126→01111110₂
• 单精度格式
  • 结构组成：1位数符 + 8位阶码（移码） + 23位尾数（原码）
  • 偏移量：单精度固定为127（双精度为1023）
  • 完整示例：-0.75最终表示为1 01111110 10000000000000000000000

2.6 例题：浮点数转十进制

• 解析步骤
  • 十六进制转换：如COAO0000H→110000001010…0
  • 数符判断：首位1表示负数
  • 尾数还原：补上隐含1→1.01₂（即1.25₁₀）
  • 阶码转换：10000001₂→129₁₀，真值=129-127=2
  • 结果计算：-1.25×2²=-5.0

2.7 例题：单精度浮点数绝对值

可以通过编程验证这些值：

#include <stdio.h>
#include <float.h>

int main() {
    printf("单精度浮点数范围：\n");
    printf("最大值：%.7e\n", FLT_MAX);
    printf("最小规格化数：%.7e\n", FLT_MIN);
    printf("最小非规格化数：%.7e\n", FLT_TRUE_MIN);
    printf("精度：%d位有效数字\n", FLT_DIG);
    return 0;
}

2.8 IEEE 754的特殊表示

2.9 知识回顾

三、浮点数加减法运算

3.1 浮点数加减运算步骤

一共 5 步运算：对阶、尾数加减、规格化、舍入、判断溢出

step 01 对阶

• 基本原则: 小阶向大阶对齐，通过算术右移实现
• 原因分析:
  • 计算机处理定点小数时，小数点位置固定
  • 大阶向小阶对齐会导致小数点前出现多个有效位，硬件实现困难
  • 小阶向大阶对齐只需算术右移，硬件实现简单
• 阶差计算: 通过两数阶码相减判断大小关系，差值为负说明被减数阶码更小

step 02 尾数相减

• 操作要点:
  • 阶码对齐后才能进行尾数运算
  • 减法转换为加法实现（取负数的补码）
  • 双符号位补码运算时，最高位进位丢弃
• 溢出特征: 双符号位不同表示尾数溢出，但可通过规格化修正

step 03 规格化

• 左规条件: 尾数出现0.00…..形式时
  • 操作：尾数算术左移，阶码减1
• 右规条件: 尾数出现xxxxxx.xx形式（小数点前多位非零）时
  • 操作：尾数算术右移，阶码加1
• 规格化标准: 确保尾数第一个数值位为有效位（非零）

step 04 舍入

• 必要性: 浮点数尾数位数有限，运算后可能超出存储长度
• 常见策略:
  • 直接截断（砍掉低位）
  • 非零进一（舍弃部分非零时向高位进1）
  • 四舍五入（舍弃部分≥0.5时进1）
• 二进制特点: 舍入规则与十进制类似，但基于二进制位判断

step 05 判溢出

• 判断标准: 仅阶码溢出才是真正溢出
  • 尾数溢出可通过规格化修正
• 检测方法:
  • 双符号位补码：符号位不同表示溢出
  • 阶码超出表示范围时发生溢出
• 重要区别: 尾数溢出可恢复，阶码溢出不可恢复

3.2 例题：浮点数的加减运算（考试标准）

1、十进制转为双符号位二进制补码

2、对阶计算，求阶差，为了使得两个数的阶数相同，小阶向大阶看齐

• -1 尾数右移，阶码+1
• 1 尾数左移，阶码-1

3、尾数相加

X-Y转化为X+Y，对 Y全部取反+1

4、规格化、舍入、判溢出

• 运算过程:
  • 对阶：阶差为-1，X右移1位，阶码+1
  • 尾数减：取Y的负数补码相加
  • 规格化：右归处理尾数溢出
  • 舍入：本例无舍入需求
  • 判溢出：双符号位相同，无溢出

3.3 舍入

“0”舍”1″入法

• 原理：类似于十进制中的”四舍五入”，在尾数右移时，被移去的最高数值位为0则舍去；为1则在尾数末位加1。
• 潜在问题：加1操作可能导致尾数再次溢出，此时需要再做一次右规操作。
• 示例：尾数加减结果为11100,10.110001011时，若右移舍弃的位为1，则需在末位加1变为11101,11.0110001011。

恒置”1″法

• 操作规则：尾数右移时，不论丢弃的最高数值位是0还是1，都将右移后的尾数末位恒置为1。
• 特点：这种方法会使尾数可能变大或变小，但避免了”0舍1入”法中可能的二次溢出问题。

浮点数加减运算中的舍入问题

• 运算步骤：1.对阶 → 2.尾数加减 → 3.规格化 → 4.舍入 → 5.判溢出
• 特殊处理：某些计算机将24bit尾数扩展为32bit计算，完成运算后再舍入截断回24bit，此时同样面临舍入问题。
• 溢出处理：阶码超出上限为上溢（需抛出异常），低于下限为下溢（当作机器0处理）。

3.4 强制类型转换

不同机器的数据类型长度

• 关键差异：int型在16位机器占16位，32/64位机器占32位；long型在32位机器占32位，64位机器占64位。

32位机器的数据类型特点

• 考试重点：多数教材基于32位环境编写，考试通常考察32位情况下的转换。
• 典型配置：int=32bit，long=32bit，double=64bit（1符号位+11阶码+52尾数，隐含1位实际53位有效数值）。

无损的强制类型转换

• char→int：8位→32位，保留全部信息
• short→int：16位→32位，保留全部信息
• long→int：32位→32位，等宽转换
• float→double：尾数从24位(1+23)扩展到53位(1+52)，阶码从8位扩展到11位

long型向double型转换的精度问题

• 32位情况：32位long可被53位double尾数完整表示，无精度损失
• 64位情况：64位long超出53位表示能力，会有精度损失（考试通常不考此情况）

float型向double型转换

• 精度保证：float尾数24位 < double尾数53位
• 范围保证：float阶码8位 < double阶码11位

int型向float型转换的精度损失

• 原因分析：int型31位有效数值 > float型24位尾数
• 范围特性：float表示范围更大，不会溢出但会损失精度

float型向int型转换的溢出与精度损失

• 溢出风险：float表示范围远大于int，可能发生正/负上溢
• 精度损失：小数部分会被直接截断（如0.000111→0）
• 典型场景：float表示的小数转换为int时必然丢失小数部分

3.5 知识回顾

四、数列的存储和排列

4.1 大小端模式

1、多字节数据存储：在内存中存储多字节数据（如C语言的int型变量）时，会占据连续的几个字节空间。

例如4字节int型变量用16进制表示为01 23 45 67H，对应十进制19088743

2、有效字节区分：

• MSB（最高有效字节）：数据最左边的字节（如示例中的01）
• LSB（最低有效字节）：数据最右边的字节（如示例中的67H）

3、存储模式分类：

• 大端模式：符合人类阅读习惯，将最高有效字节存储在最低内存地址
• 小端模式：机器处理更高效，将最低有效字节存储在最低内存地址

4、机器处理优势：

• CPU按地址递增顺序读取数据，小端模式会先读取最低有效字节
• 进行多字节运算（如加法）时，CPU需要从低位开始处理，小端模式可直接顺序处理

4.2 边界对齐

• 编址基础：
  • 现代计算机按字节编址，每个字节对应唯一地址（如0,1,2,3…）
  • 存储字长为32位时：1字=32bit=4字节，半字=16bit=2字节
• 寻址转换：
  • 字地址→字节地址：逻辑左移2位
  • 半字地址→字节地址：逻辑左移1位
• 存储策略对比：
  • 边界对齐：牺牲部分存储空间（如char型后填充空白），保证数据单元完整存储在一个字内
    • 优点：单次访存即可读取完整数据（如short型变量）
    • 示例：结构体存储时主动填充空白字节
  • 边界不对齐：充分利用所有存储空间，允许数据单元跨字存储
    • 缺点：读取跨字数据需多次访存（如short型变量分存两个字中）
• 设计取舍：边界对齐采用空间换时间策略，虽然浪费存储空间，但显著提升访存效率