微分方程概念及求解
一、微分方程的概念
1、微分方程及其阶
微分方程：是指含有未知函数的导数（或微分）的方程。
- 研究对象是y，求y=y(x)
微分方程的阶：微分方程的 阶数 是指方程中出现的 未知函数的最高阶导数的阶数
2、常微分方程
未知函数是 一元函数，方程中只包含未知函数的 常导数
3、线性微分方程
方程中关于未知函数及其导数的项都是 “线性” 的（一次、不相乘）
- n阶线性微分方程
- n阶常系数线性微分方程
4、微分方程的解
4.1定义：
微分方程的解是满足该方程的 函数（包括显式函数、隐式函数或参数方程形式），其核心是将函数代入方程后，方程左右两边恒等。
微分方程解的图形称为积分曲线
4.2解的分类
1、通解的常数 C 并非任意常数，指在一定范围内任意取值的常数，并非实数范围内任意取值；2、C1、C2相互独立指的是相除不等于常数；3、C为了合并，任意写成 InC 形式
二、一阶微分方程的求解
1、可分离变量型微分方程
1.1 直接可分离
1.2换元可分离
2、齐次型微分方程
3、一阶线性微分方程
3.1公式推导
3.2注意事项
4、伯努利方程（仅数学一）
5、二阶可降微分方程（数一、数二）
5.1不显含y的，或者不含y和x(思想是把有关y的函数导数去掉)
5.2不显含x
6、全微分方程
三、高阶线性微分方程的求解
1、二阶常系数齐次线性微分方程
1.1 概念
1.2解的结构
1.3通解形式
2、二阶常系数非齐次线性微分方程
2.1概念
2.2解的结构（性质）
2.3特解的设定
待定系数法-求特解：
形式一：
补充说明：
1、一看；二算；三比较；
2、多项式的写法：
比如P = 2 则Q = a；写成一般式
P = 2x + 3 , Q = ax + b
e^ax 直接照抄
形式二：
这里的 l 说明：
比如2cosx + xsinx ,按2和x的最高次写一般式，也就是写成ax+b的形式
微分算子法-求特解：
概念
形式一：
形式一的例子
D=0，求一次导多一个x
形式二
该形式中没有y，只有y”和y
形式二例题
形式三
形式三例题
这里只带入D^2
i^2是-1
形式四
形式四例题
形式五
形式五例题
2.4通解
3、n(n>2)阶常系数齐次线性微分方程
四、欧拉方程
1、微分方程的形式
2、欧拉方程的推导
这里需要特别注意x>0还是x<0
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